부분 적분의 시각적 증명
일단 u축과 v축을 그린다. 그리고 임의의 곡선을 그려준다. 여기서 u는 x에 대한 함수 f(x), 그리고 v는 x에 대한 함수 g(x)의 치환이다.
이제 곡선 아래 면적은 적분으로 구한다는 사실을 알고 있다면 각 면적은 각 축에 대하여 다음과 같이 구해진다는 사실을 알 수 있을 것이다.
\mathit{Area} \, ▨ = \int^q_p v \, du
\mathit{Area} \, ▧ = \int^s_r u \, dv
여기서 살짝 헷갈린다면 평소에 적분을 어떻게 하는지 떠올려보자. y축과 x축이 있고 x축의 [a,b]구간에 있는 곡선 y = f(x) 아래의 면적은 \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b y \, dx로 구할 것이다.
그럼 이제 두 면적을 합해보자. 두 면적의 합은 곧 면적 □, ▧, ▨를 합한 전체 사각형 면적 qs에서 □ 면적 pr을 뺀 것과 같다는 사실도 이용하면 어디서 많이 본듯한 수식을 구해낼 수 있다.
\int^q_p v \, du + \int^s_r u \, dv = uv|^{(q,s)}_{(p,r)} = qs - pr
여기서 다시 원상태로 치환해준다. dv를 치환하면 g(x)의 미분이 되므로 연쇄 법칙에 의해 g'(x) dx가 된다. 이는 du에도 마찬가지로 적용된다. 적분은 x에 대한 적분으로 바뀌므로 각 적분 범위는 [a,b]로 변경된다. 그럼 다음과 같은 식이 등장한다.
\int^b_a g(x)f'(x) \, dx + \int^b_a f(x)g'(x) \, dx= f(x)g(x)|^b_a
이제 특정 항을 우변으로 넘기면 우리가 잘 아는 부분 적분 공식이 등장한다.
\int^b_a f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x)|^b_a - \int^b_a g(x)f'(x) \, dx