0의 0제곱이 1인 이유

왜 $0^0 = 1$일까?

사실 $0^0$은 부정형(Indeterminate form)이다. 이유를 알아보자.

$0^{1.0},$ $0^{0.5},$ $0^{0.25},$... 순으로 가면 계속 $0$만 나오므로 $0^0$은 마치 $0$일 것만 같다.

그러나...

$1^0,$ $0.5^0,$ $0.25^0,$... 순으로 가면 계속 $1$만 나와서 $0^0$이 이번에는 또 $1$일 것 같다.

$\lim_{x \rightarrow 0} 0^x =0$이고 $\lim_{x \rightarrow 0} x^0 =1$에서 볼 수 있듯이 0에 접근하는 방향에 따라 $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} x^y$의 값은 달라진다.

따라서 엄밀히 따지면 $0^0$은 정의되지 않은 상태로 놔둔다.

그러나 $\frac{0}{0}$과 같은 다른 부정형 공식과들은 달리 대부분의 접근 방향들은 1로 수렴하기 때문에 수학자들은 편의를 위해 통상적으로 $0^0$은 1로 정의해둔다. 대표적인 예로써 $0^0$이 정의되지 않는다면 $e^x$의 테일러 급수 중 $e^0$에 대한 테일러 급수는 정의되지 않는 곤란한 상황이 발생할 것이다.