흥미로운 수학 문제: 동전의 역설 (Coin Rotation Paradox)

해당 문제는 1982년도 5월 SAT 시험에 출제된 30만 명의 미국인이 풀고 단 3명만 선택지가 없음을 증명해 맞춘 문제다. 물론 해당 문제를 낸 출제자 본인도 틀렸다.

해당 문제에선 반지름이 원 B의 3배인 원 A가 원 B를 주위를 회전하는 동안 자체적으로 회전하는 횟수를 구해야 한다.

통상적인 SAT 수학 문제를 풀어보던 여러분이라면 본능적으로 둘레가 2πr이라는 점을 이용해 B의 반지름이 A의 3배이기 때문에 바로 (b)를 선택했을 것이라고 생각한다. 그러나 (b)는 옳은 답이 아니다. 동전 자체가 회전하는 횟수는 별개의 문제이기 때문이다.

간단한 실험으로 둘레들의 비율은 다른 원 주위를 회전하는 동안 그 주위를 회전하는 원 자체가 회전하는 횟수를 나타내지 않는다는 사실을 알아낼 수 있다. 100원짜리 동전 2개를 꺼내서 돌려보도록 하자. 주위를 도는 100원짜리 동전이 왕복을 완료하면 동전 자체는 2번 회전했다는 사실을 알 수 있을 것이다.

좀 더 면밀히 살펴봤다면 사실 (b)는 원 A의 둘레가 원 B와 완전히 접촉하는 횟수지 원 A 자체가 회전하는 횟수가 아니라는 것을 알 수 있다. 원 A가 회전을 완료한다는 기준은 어떻게 세울까? 원 A가 원 B와 처음으로 접촉한 때 원 A에 시작 기준점을 표시한 뒤 그 시작점이 원점으로 돌아온다면 원 A는 자체 회전을 완료한다. 그렇다면 그 시작점이 원 A가 원 B 주위를 왕복하는 동안 어떻게 이동했는지 그려낸다면 신장(콩팥)형 곡선 혹은 네프로이드(nephroid)가 나와 그 이동거리는 원 B의 둘레보다 길다는 사실을 알아낼 수 있다.

 추가로 두 원의 지름이 같다면 심장형 곡선 혹은 카디오이드(cardioid)가 나오는 것을 확인할 수 있을 것이다. 마찬가지로 원의 둘레보다 길다.

비슷한 형태의 문제로는 아리스토텔레스의 바퀴 역설이 존재하고, 눈치가 빠른 사람들은 해당 문제가 천문학의 자전과 공전 문제와도 관련이 있다는 것을 알 수 있을 것이다.

그렇다면 옳은 답은 어떻게 구할 수 있을까? 해당 그림을 보면 도움이 될 것이라고 생각한다.

주위를 도는 원의 중심이 이동하는 거리를 잰 뒤 원의 둘레로 나누면 된다. 그림을 좀 바꿔서 설명하면 이해가 더 쉬울 것이다. 일단 초록선을 직선으로 폈다고 해보자.

원 A와 원 B가 처음으로 접촉을 시작한 시작 기준점을 빨간색으로 표시하겠다. 그 후 초록선을 아래로 평행 이동시켜보겠다. 

이제 왜 원 A와 원 B의 반지름을 더한 원의 둘레와 원 A의 둘레의 비율이 곧 원 A가 회전하는 횟수인지 이해가 되었기를 바란다.

수식으로 표현하면 답은 다음과 같다. 원 A의 반지름을 $r$, 원 B의 반지름을 $R$이라고 하자. 그럼 문제의 답은 다음 수식으로 일반화된다.

$$\frac{2\pi(R+r)}{2\pi r} = R/r + 1$$

따라서 문제의 답은 3/1+1 = 4번이다. 확인해보고 싶다면 100원짜리 동전의 사례를 다시 떠올려보자. 1/1 + 1 = 2번인 것을 기억할 수 있을 것이다.