부분 적분의 시각적 증명

https://www.maa.org/sites/default/files/Roger_B04151._Nelsen.pdf

일단 $u$축과 $v$축을 그린다. 그리고 임의의 곡선을 그려준다. 여기서 $u$는 $x$에 대한 함수 $f(x)$, 그리고 $v$는 $x$에 대한 함수 $g(x)$의 치환이다.

이제 곡선 아래 면적은 적분으로 구한다는 사실을 알고 있다면 각 면적은 각 축에 대하여 다음과 같이 구해진다는 사실을 알 수 있을 것이다.

$$\mathit{Area} \, ▨ = \int^q_p v \, du$$

$$\mathit{Area} \, ▧ = \int^s_r u \, dv$$

여기서 살짝 헷갈린다면 평소에 적분을 어떻게 하는지 떠올려보자. $y$축과 $x$축이 있고 $x$축의 $[a,b]$구간에 있는 곡선 $y = f(x)$ 아래의 면적은 $\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b y \, dx$로 구할 것이다.

그럼 이제 두 면적을 합해보자. 두 면적의 합은 곧 면적 □, ▧, ▨를 합한 전체 사각형 면적 $qs$에서 □ 면적 $pr$을 뺀 것과 같다는 사실도 이용하면 어디서 많이 본듯한 수식을 구해낼 수 있다. 

$$\int^q_p v \, du + \int^s_r u \, dv = uv|^{(q,s)}_{(p,r)} =  qs - pr$$

여기서 다시 원상태로 치환해준다. $dv$를 치환하면 $g(x)$의 미분이 되므로 연쇄 법칙에 의해 $g'(x) dx$가 된다. 이는 $du$에도 마찬가지로 적용된다. 적분은 $x$에 대한 적분으로 바뀌므로 각 적분 범위는 $[a,b]$로 변경된다. 그럼 다음과 같은 식이 등장한다.

$$\int^b_a g(x)f'(x) \, dx + \int^b_a f(x)g'(x) \, dx= f(x)g(x)|^b_a$$

이제 특정 항을 우변으로 넘기면 우리가 잘 아는 부분 적분 공식이 등장한다.

$$\int^b_a f(x)g'(x) \, dx  = f(x)g(x)|^b_a - \int^b_a g(x)f'(x) \, dx$$